Потом Дедекинд, ученик Дирихле, хотел применять эти методы к изучению более общих расширений Галуа с неабелевыми группами Галуа. Но для этого нужно было понятие характера для таких неабелевых групп. И он задал своему ученику Фробениусу построить теорию таких характеров неабелевых групп. И Фробениус с этим справился. В самом начале 1900-х годов он определил характеры сначала по отдельности для каждой степени, то есть значения в единице, с помощью некого функционального уравнения. А потом все одним махом ― как следы представлений. И вычислил все характеры симметрических и знакопеременных групп. А через несколько лет Диксон высчитал все характеры групп матриц 2х2 над конечными полями, и наука пошла быстро развиваться.

Ее значение определяется тем, что идея симметрии, то есть структуры с группой преобразований, очень естественная и фундаментальная в математике. А представления являются линеаризацией этого. То есть если группа действует на каком-то множестве, то она действует и на линейном пространстве функций на этом множестве. Поэтому теория инвариантов, которая бурно развивалась в XIX веке, оказалась естественно связанной с теорией представлений линейных групп, и уже в самом начале XX века Исайя Шур, ученик Фробениуса, построил теорию представлений общей линейной группы.

Группы симметрий возникают в классической механике естественным образом, а потом в квантовой механике возникают их представления. Например, знаменитый принцип неопределенности Гейзенберга просто означает, что группы Гейзенберга действуют в пространстве состояний. Но только это уже бесконечномерные представления. И поэтому благодаря квантовой механике с 1920–1930-х годов математики стали изучать бесконечномерные представления. Один из основателей теории бесконечномерных представлений, Хариш-Чандра, был учеником великого физика Поля Дирака. Но здесь бесконечномерные представления простых групп стали изучать уже после войны.

В это время в Москве работала школа Гельфанда. И они среди прочего открыли то, что автоморфные функции, или модулярные формы, которые раньше изучали еще Пуанкаре, Клейн и многие другие великие математики, естественным образом интерпретируются в терминах теории представлений адельных групп. Забавно, что еще в 1920–1930-е годы в Германии, в Гамбурге, в университете работали Эмиль Артин и Эрих Гекке. И Эрих Гекке изучал как раз автоморфные формы и по ним научился строить L-функции, которые сейчас называются L-функции Гекке. А Артин тогда же продолжал изучать L-функции, построенные по неабелевым характерам групп Галуа. Но только друг про друга они ничего не знали. В частности, Гекке опубликовал одну из своих самых важных работ про свои L-функции в 1937 году, как раз когда Артин уехал от нацистов в Америку.

А через 30 лет, то есть в 1967 году, в Америке Роберт Ленглендс выдвинул свою грандиозную программу, основанную на том, что эти два класса L-функций совпадают. Вообще говоря, в 1960-е годы было совершенно необыкновенное время во всем мире. В это время в Париже работал семинар Гротендика по алгебраической геометрии. И они настолько перевернули всю алгебраическую геометрию, что она с тех пор стала универсальным, стандартным языком даже в физике (теории струн). И в частности, Гротендик изучал этальные пучки, и через них, как следы Фробениуса, строил важные естественные функции на многообразиях над конечными полями.

А в 1970-е годы в Москве Владимир Дринфельд занимался как раз гипотезой Ленглендса по связям представлений адельной группы для поля функций на кривой над конечным полем и представлений группы Галуа этого поля. Он рассмотрел этальные когомологии пространства модулей штук, в которых действовали одновременно и адельные группы, и группы Галуа, и построил там искомое соответствие Ленглендса. Он тогда занимался только группой матриц 2х2, так называемой GL2. Но тогда же он рассмотрел игрушечный пример, в котором вместо аделей фигурировало само конечное поле, и получались представления группы GL2 над конечным полем в этальных когомологиях некоторой кривой над конечным полем. Эти представления группы GL2 были все классифицированы еще Диксоном за 65 лет до того. Но за все это время никто так явно их строить не научился, и только у Дринфельда это получилось как побочный продукт его работы.

Но когда об этом узнали Делинь и Люстиг, они обобщили метод Дринфельда на произвольные группы, и на этом пути в 1980-е годы Люстиг классифицировал все представления всех простых групп Шевалье над конечными полями. А еще через несколько лет, то есть в начале 1980-х, Дринфельд научился непосредственно по представлению группы Галуа этого поля функций на кривой над конечным полем, то есть по этально-локальной системе на кривой, строить соответствующую по Ленглендсу автоморфную функцию, как след Фробениуса в пучке (точнее, в комплекте пучков), на пространстве модулей расслоений на этой кривой.

И это было рождение геометрической теории представлений. Потому что многие операции над функциями, как, например, интеграл, имеют аналоги соответствующих операций над пучками. Например, интеграл отвечает прямому образу. Но в мире пучков операций больше, чем в мире функций. Например, близкие или исчезающие циклы, продолжение подвязки Макферсона есть в пучках, но ничего подобного для функций нет. А с точки зрения функций это какое-то сверхъестественное аналитическое продолжение функций на многообразиях над конечными полями, которые являются дискретными объектами. Таким образом, находясь только в мире функций, нельзя построить искомую автоморфную функцию. И в этом и есть смысл геометрической теории представлений.

Еще в районе 1980 года геометрическая теория представлений возникла в работах Бейлинсона, Бернштейна, Кашивары по доказательству гипотезы Каждана ― Люстига. Это гипотеза о характерах неприводимых бесконечномерных представлений простых комплексных алгебр Ли. К ее формулировке конечные поля вообще никакого отношения не имеют. Тем не менее оказывается, что полезно представление простых алгебр Ли реализовывать в глобальных сечениях пучков демодулей на их пространствах флагов. При этом неприводимые представления отвечают неприводимым демодулям, а те, в свою очередь, по соответствию Римана ― Гильберта отвечают неприводимым конструктивным извращенным пучкам на пространстве флагов. А уже конструктивные извращенные пучки имеют над любым полем, комплексным или конечным. И над конечным полем можно рассматривать в них след Фробениуса. И это и будет искомым ответом в исходной задаче.

На самом деле теория извращенных пучков ― один из самых эффективных инструментов в алгебраической геометрии и теории особенностей и самый адекватный язык в гипотезах Андре Вейля ― возникла именно в результате работ по гипотезе Каждана ― Люстига, а потом уже была применена Дринфельдом к гипотезам Ленглендса. И поразительно, что этот огромный скачок в математике занял всего два года ― с 1979 по 1981 год.

Мы уже говорили об эффективности геометрической теории представлений в теории чисел. А в последнее время она становится все более эффективной в физике, то есть в суперсимметричных калибровочных теориях поля. Например, в 2012 году Маулик и Окуньков применили геометрическую теорию представлений W-алгебр к проверке гипотез Алдая ― Гайотто ― Тачикавы про статсуммы Некрасова. А еще через несколько лет Браверман и Накаджима обобщили эти результаты Маулика и Окунькова для произвольных калибровочных групп с симметричными матрицами Кардано. Можно сказать, что прелесть геометрической теории представлений заложена в нее с рождения, поскольку она соединяет в себе много самых разных областей. А в этом соединении есть главная красота математики.